تمرین ۸ توابع وارون و مرکب آن حسابان یازدهم
اگر $f(x) = ۲x + ۵$، $f^{-۱}(x)$، $f \circ f^{-۱}$ و $f^{-۱} \circ f$ را به دست آورید.
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۸ صفحه ۶۹ حسابان یازدهم
سلام! تابع $\mathbf{f(x) = ۲x + ۵}$ یک تابع خطی و یک به یک است. این تمرین بر رابطه اساسی بین یک تابع و وارون آن تأکید دارد. 🔄
---
### ۱. محاسبه تابع وارون ($f^{-۱}(x)$)
معادله $y = f(x)$ را بر حسب $x$ حل میکنیم:
$$y = ۲x + ۵$$
$$y - ۵ = ۲x$$
$$x = \frac{y - ۵}{۲}$$
با تغییر نام متغیر، ضابطه وارون به دست میآید:
$$\mathbf{f^{-۱}(x) = \frac{x - ۵}{۲}}$$
---
### ۲. محاسبه تابع مرکب $f \circ f^{-۱}$
* **ضابطه**: $$(f \circ f^{-۱})(x) = f(f^{-۱}(x)) = f(\frac{x - ۵}{۲})$$
$$(f \circ f^{-۱})(x) = ۲(\frac{x - ۵}{۲}) + ۵$$
* **سادهسازی**:
$$(f \circ f^{-۱})(x) = (x - ۵) + ۵ = \mathbf{x}$$
---
### ۳. محاسبه تابع مرکب $f^{-۱} \circ f$
* **ضابطه**: $$(f^{-۱} \circ f)(x) = f^{-۱}(f(x)) = f^{-۱}(۲x + ۵)$$
$$(f^{-۱} \circ f)(x) = \frac{(۲x + ۵) - ۵}{۲}$$
* **سادهسازی**:
$$(f^{-۱} \circ f)(x) = \frac{۲x}{۲} = \mathbf{x}$$
**نتیجه**: همانطور که انتظار میرفت، ترکیب یک تابع با وارون خود، در هر دو حالت، برابر با **تابع همانی** ($y=x$) است.
$$\mathbf{f \circ f^{-۱} = f^{-۱} \circ f = I(x) = x}$$
تمرین ۹ ضابطه عملیات جبری توابع از روی نمودار حسابان یازدهم
نمودار توابع $f$ و $g$ در شکل داده شدهاند. ضابطه توابع $f+g$، $f-g$ و $f \cdot g$ را محاسبه کنید.
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۹ صفحه ۶۹ حسابان یازدهم
سلام! برای انجام عملیات جبری، ابتدا باید ضابطه جبری توابع $f$ و $g$ را از روی نمودارهای خطی آنها استخراج کنیم. 📈
### ۱. استخراج ضابطه تابع $f$ (خط نزولی)
* **نقاط مشخص**: $(۰, ۳)$ و $(۳, ۰)$.
* **شیب ($m_f$)**: $$m_f = \frac{۰ - ۳}{۳ - ۰} = -۱$$
* **عرض از مبدأ ($b_f$)**: $۳$
$$\mathbf{f(x) = -x + ۳}$$
### ۲. استخراج ضابطه تابع $g$ (خط صعودی)
* **نقاط مشخص**: $(۰, -۱)$ و $(۳, ۵)$.
* **شیب ($m_g$)**: $$m_g = \frac{۵ - (-۱)}{۳ - ۰} = \frac{۶}{۳} = ۲$$
* **عرض از مبدأ ($b_g$)**: $-۱$
$$\mathbf{g(x) = ۲x - ۱}$$
**دامنه مشترک**: $athbf{D_f = D_g = \mathbb{R}}$, پس $athbf{D_{\text{مشترک}} = \mathbb{R}}$.
---
### ۳. تابع جمع ($f+g$)
* **ضابطه**: $$(f+g)(x) = f(x) + g(x) = (-x + ۳) + (۲x - ۱) = \mathbf{x + ۲}$$
---
### ۴. تابع تفریق ($f-g$)
* **ضابطه**: $$(f-g)(x) = f(x) - g(x) = (-x + ۳) - (۲x - ۱) = -x + ۳ - ۲x + ۱ = \mathbf{-۳x + ۴}$$
---
### ۵. تابع ضرب ($f \cdot g$)
* **ضابطه**: $$(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x) = (-x + ۳)(۲x - ۱)$$
* **گسترش**: $$= -x(۲x - ۱) + ۳(۲x - ۱) = -۲x^۲ + x + ۶x - ۳ = \mathbf{-۲x^۲ + ۷x - ۳}$$
